생물정보분석 #3 확률분포, 카이제곱검정 #

#2026-01-13

#1 통계적 유의성

통계적 유의성

실험 결과로 나온 수치가 우연인지, 주장을 뒷받침할만큼 확률(빈도)이 높은 것인지 그 의미를 검증할수만 있으면 된다.
어떤 실험 결과가 통계적으로 유의하다는 말은
- 그 결과가 우연히 일어난 것이 아니라는 것
통계 분석을 통해
- 어떤 암에서 특정 유전자가 빈번하게 발현되는것을 발견했다고 할때 이것이 우연히 관측된 결과인지 중복된 관찰을 통해 큰 의미가 있는 것으로 결론지을수 있는 것인지 정량적으로 밝힐 수 있다.

p-value

관측이 진리가 아닌 우연일 확률
0-가설로 다음을 설정: 동전은 앞면이 나올 확률이 1/2이다.
- 그리고 실험: 10번 던지기를 1000번 해보니 60번은 앞면이 8번이상 나왔다.
- 실험 결과: 1앞면이 나올 확률이 1/2이라도 10번 던지면 6%의 확률로 8번이상 앞면이 나온다.
- p=0.06이다.
p값이 0.05보다 작으면 0-가설을 기각하는데 0.06이니까 0-가설을 기각 불가다. 즉 0.06정도면 확률이 높으니 8번이상 앞면이 나온 관측은 진리가 아닌 우연이다.

귀무가설

귀무가설은 처음부터 기각을 염두에 둔 가설.
앞의 예에서는
- 동전 앞면과 뒷면이 나올 확률이 1/2이라고 가정하고 8번이 나올 확률을 계산했다.
- 귀무가설을 어떻게 정하는지에 따라 p-값이 바뀐다 그래서 p-값을 보면 항상 귀무가설이 뭔지 확인해야 한다.

이항분포

10번 던지기 1000번 할 필요 없이(즉 실험할 필요 없이),
- 확률분포를 알고있는 경우에는 CDF를 이용해서 p-값을 구할 수 있다.
- 확률분포를 알고있다란?
  - 확률분포 유형이랑 그 유형이 필요로 하는 값을 알고있다. 즉 binom이라는거랑 n은 10이고 p는 0.5라는걸 알고있다.

#import numpy as np

#np.random.seed(1000)
#a = np.random.binomial(10, 0.5, 1000) # 실험 할 필요 없다
#sum(1 for x in a if x>=8)
#60

from scipy.stats import binom

n,p = 10, 0.5
10-binom.cdf(7,n,p)

np.float64(9.0546875)

시뮬레이션

확률분포를 알기위해서는
- 현상을 분석해서 확률모델로 만들어야함.
- 평균을 가진다고 가정해도되면 정규분포가 되고
- 유전체 빈도처럼 나타나는 횟수에 관련되어있으면 포아송 확률분포 모델을 쓴다.
명확한 모델이 나오지 않으면 시뮬레이션을 쓴다.
- 연구 방법론으로 50개 유전자를 찾았을때 30개가 특정 질병에 관련돼있으면
- 얼마나 의미있는 결과인지 보기 위해서는
  - 전체 유전자에서 임의로 30개를 뽑는게 아니고
  - 전체 유전자에서 임의로 50개를 뽑고 특정 질병과 관련된 유전자가 30개 이상인 경우인지 보기 «를 1000번 정도 하고 몇번인지 세보면 된다.
  - 여기서 귀무가설은 “관측은 우연이 아니라 진리다” (관측=이 연구 방법론으로 찾은 50개 중 30개가 특정 질병에 관련됨)
  - p-값이 크면 기각이다. 관측은 우연이다.
시뮬레이션 방법의 단점은
- p-값이 매우 작기 때문에 많은 실험을 반복해야한다.
  - 1000번만 실험하면 0.001 이하의 p-값은 모두 0으로 표시된다. (그래서 p<0.001이라는 표현이 있다 = 0을 저렇게 쓴다는건가?)
- 그리고 연산량이 많다.
  - 50개 정도를 돌리는건 괜찮지만 암 유전체에서 발견되는 100만개 유전변이를 각각 시뮬레이션하는것은 불가능하다.

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#2 확률 변수와 분포

확률 변수 X

값은 모르는데 나올 확률은 x로 정해져있는 변수 X

이항 분포

p의 확률로 성공하는 일을 n번 시행해서 성공할 확률 x에 대한 분포.
X~B(10, 0.5)
- 앞면이 나올 횟수 X가 얼마인진 모르겠지만 n=10, p=0.5인 B(이항분포)를 따른다.
어떤 유전 변이가 2% 확률로 나타나는데 어떤 질병을 가진사람 1000명을 봤을때 그중 40명이 이 유전변이를 가졌다. 이 유전변이가 질병과 관련 없는데 우연히 일어났을 확률 x의 분포는?
- 0-가설: 유전변이 v는 질병과 상관이없다
- p-값: P(X>=40)
- X~B(1000,0.2)
- 계산해서 p-값이 충분히 작다면 0-가설을 기각하고 유전변이 v가 질병과 상관있다는걸 알수있다.
빈도를 확률로 나타낸다.

푸아송 분포

빈도를 확률로 나타내는 또다른 방법.
유전체 시퀀싱할때 모든 위치가 평균 10번 시퀀싱되도록 하는데
- 어떤 부분이 얼마나 시퀀싱 될지 깊이(depth)가 확률 변수 X라고 하면
- 이 변수는 평균을 10으로 하는 푸아송 분포를 따른다.
푸아송 분포는 이항분포로 바꿀수도있는데
- 인간 유전체는 30억쌍이고 깊이 10이면 총 300억개 시퀀싱 데이터가 있고
- 데이터가 특정 1개 위치에 대한 데이터일 확률은 1/30억으로써
- B(300억, 1/30억)으로 표현되는데
- n이 너무 크고 p가 너무 작다. 이럴때 푸아송으로 근사된다고 볼수있다.

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#3 카이제곱 검정

카이제곱값

빈도가 그룹 간 얼마나 다른가?
- 각 X값마다 -> 관측값-기댓값 제곱 / 기댓값 -> 의 합이 카이제곱(x제곱)

카이제곱 분포

카이제곱값이 나타날 확률은 카이제곱 분포를 따른다.
k개의 서로 독립적인 표준 정규 확률 변수를 각각 제곱해서 계산한다. 이때 k는 자유도.

카이제곱 계산

카이제곱값을 계산하려면 기대 빈도를 구해야한다.
알츠하이머에 걸린 사람 500명(질병군)과 아닌 사람 1500명(대조군)에 대해서 각 유전변이가 나타나는 빈도를 구했음
- -> 유전변이 s1이 질병 100명, 대조군 100명에서 나타났을때 이 빈도는 얼마나 유의할까?

cf) 생각

만약 위 케이스가 이항분포 섹션이었다면?
- 알츠하이머에 걸린 사람 500명(질병군)과 아닌 사람 1500명(대조군)에 대해서 각 유전변이가 나타나는 빈도를 구했음
- -> 이 유전변이가 알츠하이머와 상관이 있는지를 구해보자. 여야 할것이고
- -> 분석 케이스가 상관있다 없다 니까
- -> 상관없을때 나타나는 확률 x가 주어졌어야 했을것임
- 카이제곱에서는
  - -> 이 빈도가 유의미한지 아닌지이고
  - -> 분석 케이스가 유의미하다 아니다 니까
  - -> 유의미하지않을때 나타나는 확률 x가 필요함 근데 유의미하지않으면 동등한거니까 이미 1/2로 나와있는 셈.

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다시 카이제곱 계산

유전변이 s1이 질병 100명, 대조군 100명에서 나타났을때 이 빈도는 얼마나 유의할까?
- 일단 기대빈도 구하기
  - 2000명 중 200명에 유전변이가 나타난거니까 기대 빈도는 150명, 50명 / 관찰 빈도는 100명, 100명.
- contingency table을 만든다
- 그리고 ‘관측값-기댓값 제곱 / 기댓값’을 구해서 합해준다.
- 카이제곱값은 74.074가 나온다.

카이제곱 검정

계산된 카이제곱값은 74.074는 얼마나 유의한 값인가?
카이제곱 검정을 하려면 자유도 k가 몇인 카이제곱분포를 따를지 판단해야한다.
- n*m 표의 관측값을 위한 자유도는 (n-1)*(m-1)로 계산한다.
그리고 0-가설은 ‘유전변이가 질병과 상관없다’로 놓고 통계 분석을 하면
- p value 계산결과는 7.524E-18로, 유전변이가 질병과 상관없다고 가정한 세상에서는 저 결과가 저 빈도로 나올 확률이 거의 없다.
- 즉 유전변이가 질병과 상관 있다.

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자유도

환자 500명에서 변이 빈도가 100명이면 변이가 없는 빈도는 400이다.
- 100과 400은 2개의 숫자이지만 하나만 자유롭게 바뀔수있고 나머지하나는 하나가 결정되면 결정되어버리는 종속변수다. -> 2-1=1
- 정상인 1500명에서도 동일하다 -> 2-1=1
- 그럼 1+1은 2인가?
  - 아님. 총 빈도가 200이기 때문에 정상인 빈도와 환자 빈도 둘중 하나가 또 종속이고
  - 그래서 자유도는 1이다.

카이제곱 독립성 검증이 하는일

질병의 유무와 유전변이의 유무가 독립적인가?를 검증한다.

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#출처

책 빅데이터&인공지능 with 생물정보학